Türev

Türev Konu Anlatımı

Türev Nedir?

Türev, bir fonksiyonun değişim hızını ve eğimini incelemek için kullanılan matematiksel bir kavramdır. Bir fonksiyonun türevini aldığımızda, o fonksiyonun her bir noktasındaki eğimi bulmuş oluruz.

Türev Tanımı

Bir fonksiyonun türevi, o fonksiyonun bir noktadaki limitli değişimini ifade eder. Eğer f(x) bir fonksiyon ve a bir reel sayı ise, f'(a) türevi şu şekilde tanımlanır:

f'(a) = lim_h→0 (f(a+h) - f(a))/h

Türev Özellikleri

• Toplama ve Çıkarma Kuralı: (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)
• Çarpma Kuralı: (f × g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
• Bölme Kuralı: (f / g)'(x) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / g(x)²
• Zincir Kuralı: (f(g(x)))' = f'(g(x)) × g'(x)
• Fonksiyonun Sabit Kuralı: c' = 0 (c sabit bir sayı)

Sorular ve Çözümler

Soru 1: f(x) = x² + 3x - 5 fonksiyonunun türevini bulun.

Çözüm: f'(x) = 2x + 3.

Soru 2: f(x) = 3x³ - 2x² + x - 1 fonksiyonunun türevini bulun.

Çözüm: f'(x) = 9x² - 4x + 1.

Soru 3: f(x) = sin(x) + cos(x) fonksiyonunun türevini bulun.

Çözüm: f'(x) = cos(x) - sin(x).

Soru 4: f(x) = e^x + ln(x) fonksiyonunun türevini bulun.

Çözüm: f'(x) = e^x + 1/x.

Soru 5: f(x) = x²sin(x) fonksiyonunun türevini bulun.

Çözüm: f'(x) = 2xsin(x) + x²cos(x).

Zor Sorular ve Çözümler

Soru 6: f(x) = (x² + 1) / (x² - 1) fonksiyonunun türevini bulun.

Çözüm: f'(x) = [(2x)(x² - 1) - (x² + 1)(2x)] / (x² - 1)².
f'(x) = (4x) / (x² - 1)².

Soru 7: f(x) = ln(x² + 1) fonksiyonunun türevini bulun.

Çözüm: f'(x) = 2x / (x² + 1).

Soru 8: f(x) = x³ e^x fonksiyonunun türevini bulun.

Çözüm: f'(x) = 3x² e^x + x³ e^x.

Soru 9: f(x) = cos(x) / sin(x) fonksiyonunun türevini bulun.

Çözüm: f'(x) = -cos(x) / sin²(x) - 1 / sin(x)cos(x).

Soru 10: f(x) = (x + 1)/(x² + 1) fonksiyonunun türevini bulun.

Çözüm: f'(x) = (x² + 1 - (x + 1)2x) / (x² + 1)².